Яке воно — «майже просте» число?

Просте число має тільки один простий дільник — себе самого.

А як щодо числа, яке має два простих дільники?

Наприклад, 4 (2×2) або 6 (2×3)? Зрозуміло, що такі числа є «менш простими», але вони все ж таки ближчі до простих, ніж, наприклад, 8 або 30 (три простих дільники: 2×2×2 і 2×3×5). Отже, поняття «майже простого числа» — це спосіб визначити, наскільки число близьке до того, щоб бути справді простим.

Якщо число має два (не обов'язково різні) прості дільники, то його можна назвати «напівпростим» або «двічі майже простим». Це, наприклад, числа 4, 6, 9, 10, 14, 15. Якщо ж у нього три таких дільники, його можна назвати «тричі майже простим» тощо. Тобто число, більше ніж 1, може бути «n-майже простим» для деякого n. З погляду наближення до «простоти» (термін, який я щойно придумала), «майже прості» нагадують скоріше гру в гольф, ніж вагітність: «двічі майже просте» ближче до простого, ніж «тричі майже просте».

Досі може здатися, що це лише нестандартний спосіб опису чисел із певною кількістю простих дільників. У чому ж тоді сенс майже простих?

У математиків є багато непростих питань до простих чисел. З одного боку, їхній розподіл здається випадковим, але, з іншого, деякі аспекти їхньої поведінки дуже прогнозовані. Теорема про розподіл простих чисел стверджує, що відстань між ними збільшується, чим далі ви рухаєтесь числовою прямою, але нещодавні дослідження показали, що є нескінченна кількість пар простих чисел, які відрізняються лише на 246 (від остаточного доказу гіпотези простих чисел-«близнюків» очікують, що є нескінченна кількість простих чисел, які відрізняються на 2).

Оскільки через їхню непередбачувану поведінку самі прості числа вивчати дуже важко, математикам іноді доводиться послаблювати правила. Замість того, щоб ставити запитання лише в межах множини простих, можливо, потрібно трохи відчинити двері і впустити всередину «майже прості числа?

Якщо, скажімо, взяти деяку арифметичну прогресію — довільно довгу послідовність, наприклад, таких чисел, як a+6, a+12, a+18 (або будь-якою іншою послідовністю чисел з однаковими проміжками), — то які шанси, що в таких послідовностях будуть випадати прості числа?

У 2004 році Бен Грін і Теренс Тао довели, що прості числа є в довільно довгих арифметичних прогресіях, причому вони зробили це, саме послабивши правила і шукаючи як прості, так і «майже прості».

Нещодавно «31 — майже прості числа» з'явилися в дослідженні, пов'язаному з пошуком простих «близнюків» та інших їхніх пар.

Навіть якщо поняття «майже простого числа» не є математичним жартом, воно все одно презабавне: «Майже прості числа в майже коротких інтервалах».

Але виявляється, що воно дає змогу відкрити завісу таємниці над однією з найскладніших проблем у теорії чисел.