Математики розробили новий метод розв'язання складних поліноміальних рівнянь

Поліноміальні рівняння є наріжним каменем сучасної науки та знаходять широке застосування у небесній механіці, комп'ютерній графіці, прогнозуванні ринкового зростання та багатьох інших галузях. Хоча більшість старшокласників знають, як розв'язувати прості поліноміальні рівняння, розв'язки рівнянь вищих порядків довгий час залишалися викликом навіть для досвідчених математиків.

Математик Норман Вайлдбергер з Університету Нового Південного Уельсу та незалежний фахівець з комп'ютерних наук Дін Рубін розробили перший загальний метод розв'язання таких складних рівнянь. Вони детально описали свій підхід 8 квітня у журналі The American Mathematical Monthly.

Поліном — це тип алгебраїчного рівняння, що містить змінні, піднесені до невід'ємного степеня, наприклад, x² + 5x + 6 = 0. Це один з найдавніших математичних концептів, що бере свій початок ще з часів Стародавнього Єгипту та Вавилону.

Математики давно знають, як розв'язувати прості поліноми. Однак поліноми вищих порядків, де x піднесено до степеня більше чотирьох, виявилися складнішими. Найпоширеніший підхід до розв'язання поліномів другого, третього та четвертого степенів базується на використанні коренів експоненціальних чисел, які називають радикалами. Проблема полягає в тому, що радикали часто представляють ірраціональні числа — нескінченні десяткові дроби, такі як число пі.

Хоча математики можуть використовувати радикали для знаходження наближених розв'язків окремих поліномів вищих порядків, їм не вдавалося знайти загальну формулу, яка працювала б для всіх таких рівнянь. Це пов'язано з тим, що ірраціональні числа ніколи не можуть бути повністю обчислені. За словами Вайлдбергера, «для цього знадобилася б нескінченна кількість обчислень та жорсткий диск, більший за розміри Всесвіту».

У своєму новому методі Вайлдбергер та його колеги повністю відмовилися від радикалів та ірраціональних чисел. Натомість вони застосували поліноміальні розширення, відомі як степеневі ряди. Це теоретично нескінченні послідовності членів зі степенями x, які зазвичай використовуються для розв'язання геометричних задач. Вони належать до підгалузі математики, відомої як комбінаторика.

Математики базували свій підхід на числах Каталана — послідовності, яку можна використовувати для опису кількості способів розбиття багатокутника на трикутники. Ця послідовність була вперше описана монгольським математиком Мінганту близько 1730 року і незалежно відкрита Леонардом Ейлером у 1751 році. Вайлдбергер і Рубін зрозуміли, що можуть звернутися до вищих аналогів чисел Каталана для розв'язання поліноміальних рівнянь вищих порядків. Це розширення вони назвали «Геод».

Геод має численні потенційні застосування для майбутніх досліджень, особливо в галузі комп'ютерних наук та графіки. «Це драматичний перегляд базового розділу алгебри», — зазначив Вайлдбергер.

Це відкриття може стати поворотним моментом у розвитку математики та її практичного застосування. Новий метод не лише пропонує елегантне розв'язання давньої математичної проблеми, але й відкриває нові можливості для розвитку комп'ютерних технологій та інших галузей науки, де використовуються поліноміальні рівняння.