Математики розв'язали частину шостої проблеми Гільберта через 125 років

У 1900 році в головному амфітеатрі Сорбонни в Парижі видатний німецький математик Давид Гільберт виступив з промовою, яка визначила розвиток математики на наступне століття. Він окреслив спочатку 10, а згодом 23 невирішені математичні проблеми, які, на його думку, мали сформувати майбутнє математичної науки.

Через 125 років після цієї історичної промови троє математиків — Ю Денг, Захер Хані та Сяо Ма — оголосили про частковий розв'язок шостої проблеми Гільберта. У своїй попередній публікації науковці представили строге математичне виведення рівнянь механіки рідин, зокрема знаменитих рівнянь Нав'є-Стокса та рівнянь Ейлера, починаючи від законів Ньютона та використовуючи кінетичну теорію Больцмана.

Шоста проблема Гільберта полягала в заклику обґрунтувати всю фізику на логічному, аксіоматичному фундаменті, подібно до того, як геометрія будується на системі аксіом. Протягом понад століття нікому не вдавалося довести, що ці рівняння — закони Ньютона, рівняння Больцмана та рівняння Нав'є-Стокса — справді випливають одне з одного.

Для розуміння важливості цього відкриття варто зазначити, що світ рідин, який ми спостерігаємо — завихрення диму, пориви вітру, течії у струмку — виникає з незліченної кількості невидимих частинок, що перебувають у постійному русі. Наприкінці XIX століття Людвіг Больцман запропонував кінетичну теорію, яка стверджувала, що знаючи ймовірність розташування та швидкості кожної частинки, можна статистично описати поведінку газів. Ця теорія втілилася в рівнянні Больцмана, яке інженери досі використовують для обчислення середніх властивостей газу чи рідини.

Нове дослідження пов'язує всі ланки ланцюга — від частинок до статистики і до неперервного потоку рідин. Науковці змогли це зробити для тривалих проміжків часу, де математика стає особливо складною, а взаємодії частинок накопичуються.

Доведення складається з двох основних етапів. Спершу команда розширила свої попередні результати з нескінченного простору до періодичного середовища — математично це означає розгляд частинок, що рухаються на двовимірному або тривимірному торі. Це дозволило уникнути крайових ефектів, зберігаючи при цьому сутність фізичного простору. Вони довели, що коли велика кількість твердих сферичних частинок стикається пружно за законами Ньютона, і коли їхній розмір зменшується у правильній пропорції до їхньої кількості, система підкоряється рівнянню Больцмана.

На другому етапі науковці вивели класичні рівняння рідин з формалізму Больцмана. Цей гідродинамічний граничний перехід припускає, що частота зіткнень стає дуже високою, що призводить до поведінки, характерної для рідин.

Завдяки цьому вони довели, що атомістичний світ Ньютона породжує несжимні рівняння Нав'є-Стокса-Фур'є, які описують потік в'язких рідин з теплопровідністю, та стисливі рівняння Ейлера, що моделюють невʼязкі потоки, такі як звукові хвилі або ударні фронти. Саме ці рівняння інженери використовують для моделювання всього — від крил літаків до кліматичних моделей.

Хоча це відкриття не змінює самих рівнянь рідин, воно підвищує нашу впевненість у цих інструментах. Воно свідчить, що рівняння працюють не лише тому, що випадково збігаються з емпіричними даними, а тому, що вони неминуче випливають з фундаментальніших законів.

У фізиці така узгодженість має першорядне значення. Це ознака того, що наші теорії побудовані на міцному фундаменті — що ми розуміємо не лише що працює, а й чому воно працює. Результат може надихнути подібні дослідження в інших галузях фізики. Від фізики плазми до фізики конденсованого стану та квантової теорії поля, дослідники часто переходять між мікроскопічними та макроскопічними описами. Надійний математичний зв'язок між ними допомагає запобігти несподіванкам і відкриває двері для нових відкриттів.