Математики розв'язали десятилітню геометричну загадку Какея

Математична спільнота святкує визначне досягнення: науковці з Нью-Йоркського університету та Університету Британської Колумбії нарешті розв'язали давню геометричну проблему, відому як гіпотеза Какея у трьох вимірах. Це питання, що бере початок у 1917 році, досліджує мінімальний простір, необхідний для того, щоб голка, або лінійний відрізок, могла вказувати в кожному напрямку в межах заданого простору.

Гонг Ванг, доцент Інституту математичних наук Куранта при Нью-Йоркському університеті, та Джошуа Заль, доцент кафедри математики Університету Британської Колумбії, опублікували своє відкриття на препринт-сервері arXiv. У своїй роботі вчені довели, що множини Какея, які тісно пов'язані з множинами голок Какея, не можуть бути «занадто малими». А саме, хоча ці множини можуть мати нульовий тривимірний об'єм, вони все одно повинні бути тривимірними.

Ця проблема походить від питання, поставленого японським математиком Соїчі Какея понад століття тому: яка найменша площа на площині, де голка може обертатися на 180 градусів? Області, які дозволяють такий рух, називаються множинами голок Какея.

Тренс Тао, професор математики Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі та лауреат Філдсівської премії 2006 року, відзначив цей прорив: «Відбувся приголомшливий прогрес у геометричній теорії міри: Гонг Ванг і Джошуа Заль щойно опублікували препринт, який вирішує тривимірний випадок сумнозвісної гіпотези множин Какея!»

Еял Любецький, голова математичного відділу Інституту Куранта, підкреслив значущість цього досягнення: «Воно стоїть серед найвизначніших математичних досягнень 21 століття».

Гідо Де Філіппіс, професор Інституту Куранта, додав: «Це чудовий зразок математики. Остання робота є результатом років прогресу, що поглибив наше розуміння складної геометрії та вивів його на новий рівень. Я очікую, що їхні ідеї призведуть до серії захоплюючих проривів у найближчі роки!»

Пабло Шмеркін, професор математики Університету Британської Колумбії, пояснив важливість проблеми: «Це питання, над яким працювали багато найвидатніших математиків світу, і не безпідставно — окрім привабливості бути відносно простим для формулювання, але надзвичайно глибоким, воно пов'язане з багатьма іншими важливими проблемами в гармонічному аналізі та геометричній теорії міри».

Доведення гіпотези Какея вимагає тонкого розуміння структури взаємодії трубок у евклідовому — тривимірному — просторі. Це не лише значний прорив у геометричній теорії міри, але й відкриває шлях до розвитку гармонічного аналізу, теорії чисел та застосувань у інформатиці й криптографії.

У багатьох проблемах цих галузей важлива інформація може бути розкладена на хвильові пакети — області простору, де розташовані електромагнітні чи інші типи хвиль — які значною мірою зосереджені на «маленьких трубках». Розуміння перетину цих трубок є фундаментальним для розуміння того, як ці пакети інформації взаємодіють один з одним.