Нерозгадана таємниця Декарта: математики розв'язали 380-річну геометричну проблему

Геометрична загадка, що налічує століття і датується XVII століттям, нарешті була розв'язана математиками з Університету Монаша (Австралія), пропонуючи нові погляди на рівняння, яке початково запропонував філософ і математик Рене Декарт.

Їхнє відкриття, опубліковане в журналі «Journal of Geometry and Physics», розширює відому теорему кіл Декарта, яка визначає співвідношення між чотирма взаємно дотичними колами. Хоча теорема давно є наріжним каменем геометрії, математики протягом поколінь намагалися узагальнити її для конфігурацій, що включають більше чотирьох кіл — аж до сьогодні.

Доцент Деніел Метьюз, математик зі Школи математики Університету Монаша, та аспірант Оріон Зімаріс знайшли рівняння, яке керує цими більшими структурами дотичних кіл, відомими як «n-квіти». Ліворуч на зображенні до дослідження представлена 3-квітка, а праворуч — 5-квітка, що демонструє різні конфігурації цих геометричних структур.

Їхнє доведення, яке спирається на сучасні математичні методи із застосуванням спінорів — об'єктів, які також відіграють роль у квантовій механіці та теорії відносності — розв'язує проблему, яка залишалася відкритою понад 380 років.

«Декарт поставив задачу принцесі Єлизаветі Пфальцській у 1643 році, припускаючи, що він може її розв'язати. Зрештою, він щойно винайшов декартові координати! Але він не зміг, і коли він переглянув задачу до практично розв'язуваної, це стало відомо як класична теорема кіл Декарта», — сказав доцент Метьюз. «Інші узагальнювали результат іншими способами, але це перше розширення результату, яке дає явне рівняння, що пов'язує радіуси довільної кількості кіл на площині».

Зімаріс, чиє дослідження призвело до прориву, підкреслив несподівані зв'язки з іншими галузями математики та фізики.

«Наш підхід використовував передові геометричні інструменти, натхненні фізикою, що було несподіванкою», — сказав він. «Спінори широко використовуються у фізиці, особливо в квантовій механіці. Ми використали версію спінорів, розроблену лауреатом Нобелівської премії Роджером Пенроузом та Вольфгангом Ріндлером, яку вони застосували до теорії відносності».

«Виявляється, що ті самі математичні структури, які описують квантовий спін і теорію відносності, також допомагають нам зрозуміти пакування кіл».

Ця робота не лише розвиває чисту математику, але також підкреслює зростаючу силу групи топології в Університеті Монаша, яка наразі включає дев'ять аспірантів — п'ятеро з яких жінки.

«Це відкриття є захоплюючим прикладом того, як класичні проблеми можуть надихати нову математику століття потому», — сказав доцент Метьюз. «Неймовірно думати, що питання, з яким боровся Декарт у 1600-х роках, все ще має нові відповіді, які чекають на своє відкриття».

Це дослідження показує, як тісно пов'язані між собою різні галузі науки, здавалося б, такі далекі одна від одної, як геометрія та квантова фізика. Зв'язок між цими дисциплінами через математичний апарат спінорів виявився ключем до розв'язання багатовікової загадки. Таким чином, проблема, яку поставив Декарт у листуванні з принцесою Єлизаветою майже чотири століття тому, знайшла своє вирішення завдяки підходам, яких не могло існувати за часів великого філософа і математика.