Нове рівняння Шредінгера розкриває вищі виміри в квантовій фізиці

Нова наукова робота, опублікована в журналі The European Physical Journal C 19 лютого 2025 року, відкриває перспективи для розуміння квантової механіки в умовах вищих вимірів простору.

Дослідження під назвою «Schrödinger equation in higher-dimensional curved space: a test for the existence of higher dimensions in the quantum realm» провів S. Habib Mazharimousavi, фізик із Департаменту фізики факультету мистецтв і наук Східносередземноморського університету (Туреччина, Північний Кіпр). Воно заглиблюється в поведінку нерелятивістських квантових частинок у викривленому просторі, пропонуючи нову інтерпретацію відомого рівняння Шредінгера та можливість емпірично перевірити існування додаткових вимірів.

Mazharimousavi переосмислив класичний підхід до квантової механіки, розширивши його на випадок частинок, що перебувають у (d-1)-вимірному викривленому просторі, вкладеному в d-вимірний плоский простір. Цей метод базується на формалізмі de Costa, який раніше описував рух квантових частинок на двовимірних викривлених поверхнях у тривимірному евклідовому просторі.

У новій роботі вчений розділив початкове d-вимірне рівняння Шредінгера на дві частини: глобальне одновимірне рівняння, що враховує потенціал стиснення для утримання частинки в межах нижчого виміру, та локальне (d-1)-вимірне рівняння, яке виявляє так званий геометричний потенціал. Саме цей потенціал, зумовлений кривиною простору, є ключовим елементом, що може вказувати на присутність вищих вимірів.

Дослідження демонструє, що геометричний потенціал залежить від інваріантів викривленого простору, зокрема від тензора Вейнгартена, який описує зовнішню кривину гіперповерхні. У тривимірному випадку цей потенціал збігається з результатами de Costa, де він виражається через повну та гаусову кривину поверхні. Однак у просторах із більшою кількістю вимірів структура потенціалу ускладнюється, що відкриває нові можливості для аналізу квантових систем.

Для ілюстрації своїх ідей Mazharimousavi застосував формалізм до викривлених просторів, створених масивними об’єктами, такими як чорні діри чи зорі, а також до конкретного випадку поблизу Еллісового червоточини.

Одним із прикладів у роботі є аналіз квантової частинки в тривимірному викривленому просторі, вкладеному в чотиривимірний плоский простір. Вчений порівняв результати з попереднім дослідженням Dandoloff (2022), яке не враховувало вищі виміри та показало відсутність зв’язаних станів для частинки в такому просторі. Натомість Mazharimousavi виявив, що при введенні додаткового виміру з’являється єдиний зв’язаний стан із від’ємною енергією, описаний за допомогою конфлюентної функції Хойна. Це свідчить про те, що присутність вищого виміру суттєво впливає на енергетичний спектр частинки, змінюючи її поведінку порівняно зі стандартним тривимірним сценарієм.

Ще одним прикладом стало вивчення квантової частинки в просторі, викривленому масивним статичним об’єктом, як-от в анти-де Сіттерівському просторі-часі. Тут учений отримав розв’язок для s-хвильового розсіювання, показавши, що кривина простору зменшує довжину хвилі квантової частинки порівняно з плоским простором, а додатковий вимір частково компенсує цей ефект. Результати візуалізовано на графіках ймовірнісної густини, які демонструють відмінності між тривимірним плоским простором, тривимірним викривленим простором і чотиривимірним випадком. Автор припускає, що такі зміни можуть бути виявлені експериментально, наприклад, за допомогою електронної інтерферометрії, хоча деталі такого експерименту залишаються предметом майбутніх досліджень.

Теоретичний внесок роботи полягає в узагальненні рівняння Шредінгера для довільних розмірностей і наданні інструменту для вивчення квантових явищ у викривлених просторах. Mazharimousavi звертає увагу на те, що стандартні підручники з квантової механіки зазвичай обмежуються тривимірними або нижчовмірними плоскими системами, тоді як його підхід дозволяє врахувати кривину та її вплив на хвильову функцію частинки. Дослідження також посилається на праці Tangherlini, Caruso та інших, які раніше аналізували стабільність квантових систем, таких як атом водню, у вищих вимірах, підкреслюючи унікальність тривимірного простору для природних явищ.

Наприкінці роботи вчений ставить питання: як би змінився спектр водневого атома, якби електрон рухався у викривленому просторі без кулонівського потенціалу, вкладеному в чотиривимірний плоский простір? Для цього потрібно знайти такий тривимірний викривлений простір, де енергетичний спектр вільного електрона збігається зі спектром водню в стандартній моделі. Такий простір ще не визначено, і Mazharimousavi залишає це як відкриту проблему для подальшого вивчення.

Дослідження, проведене в Східносередземноморському університеті, не супроводжується експериментальними даними чи програмним кодом, оскільки є суто теоретичним.