Як ми знаємо, що число пі є ірраціональним?

Число пі, позначене грецькою літерою π, є однією з найвідоміших констант у математиці. Воно збільшується як відношення довжини окружності кола до його діаметра і з'являється не тільки в геометрії, а й у хімії, фізиці, медицині та інших дисциплінах, які, на перший погляд, не пов'язані з колами. Усі мої знайомі з наближеним значенням пі — 3,14, але сучасні показники розширили його до 105 трильйонів знаків після комі. Проте ключове питання, яке цікавить математиків течій століть, виникає в тому, чому ми впевнені, що є ірраціональним числом — тобто таким, що не може бути виражене у вигляді дробу і продовжуватися нескінченно без повторюваних закономірностей.

Раціональні числа, з якими ми частіше стикаємося у повсюдному житті, завжди можна записати як відношення двох цілих чисел, наприклад, ½ або ¾. На відміну від них, ірраціональні числа, такі як пі, не піддаються такому представленню. Вадим Зуділін, математик з Радбоудського університету в Нідерландах, пояснює: «Раціональність — це практична властивість, яка дозволяє записати число точно, без наближення, за допомогою скінченної кількості символів». Пі з його складним і, здається, хаотичним набором цифр явно не вписується в цю категорію. Але як довести, що його неможливо записати у формі дробу?

Доведення нераціональності числа — це не тривіальне завдання. За словами Кіта Конрада, математика з Університету Коннектикуту, не існує універсального методу, який би дозволив легко перевірити, чи є число ірраціональним. «Як знаєте, що число — не дріб? Ви намагаєтеся довести негативну владу», — зазначає він. Для кожного конкретного числа, такого як пі, математикам доводиться розробляти унікальний підхід, який спирається на логіку та спеціальні математичні інструменти.

За останні 300 років було запропоновано декілька доказів нераціональності, кожен із яких використовує різні методи та підходи. Більшість із них базується на методі ведення від супротивного. Математики починають із застосуванням, що є раціональним числом і може бути записано як a/b, де a і b — цілі числа. Потім вони будують рівняння і виконують серію логічних операцій, аналізуючи властивості цих невідомих величин. У такому процесі аналізу виробляються підтвердження, які показують, що початкове припущення хібне. Отже, пі не може бути раціональним і, відповідно, є ірраціональним.

Математичні методи, які застосовуються в цих доказах, часто надзвичайно складні та вимагають знань на рівнях університетського курсу з математичного аналізу, тригонометрії чи теорії нескінченних рядів. Наприклад, перший доказ нераціональності пі, запропонований Йоганном Ламбертом у 1760-х роках, спирався на використання нескінченних ланцюгових дробів — своїх рідних «вкладених» дробів, які продовжуються безкінечно. «Є докази, які виконують обчислення і тригонометричні функції, — пояснює Конрад. — У деяких із них виділяється як перше додаткове рішення рівня sin (x) = 0».

Інший спосіб підтвердити ірраціональність пі — це довести, що воно належить до ширшої категорії трансцендентних чисел. Такі числа не є алгебраїчними, тобто їх неможливо виразити як корені багатьох членів із цілими коефіцієнтами. оскільки всі трансцендентні числа є ірраціональними, доказ трансцендентності пі автоматично підтверджує його ірраціональність. Один із таких доказів спирається на знамениту формулу Ейлера: e^(iπ) + 1 = 0. «Використовуючи обчислення з комплексними числами, можна довести, що є трансцендентним», — зазначає Конрад.

якщо на складність цих доказів, практичне значення часто не вимагає такої глибини. Для реальних програм, наприклад, у NASA, достатньо 16 знаків після комі. «Ми використовуємо наближене значення, наприклад, 3,1415926 — і це вже дуже багато інформації!» — каже Зуділін. Протест для математики цього недостатньо. Їх цікавить не просто близька величина, а фундаментальна природа числа.

Ірраціональність пі робить його унікальним і водночас загадковим об'єктом дослідження. Воно символізує межі людського розуміння чисел і водночас демонструє силу математичної логіки. Хоча ми можемо обчислити трильйони його знаків, ми ніколи не дійдемо до кінця — і саме це робить пі не лише математичною константою, а й філософським питанням про природу нескінченності. Сьогодні, коли технологія може нам зазірнути глибше в його цифри, ми лише підтверджуємо те, що математика зрозуміла століття тому: пі — це число, яке не піддається остаточному осягненню, і саме в цьому виникає його краса.