Какое оно — «почти простое» число?

Простое число имеет только один простой делитель — себя самого.

А как насчет числа, которое имеет два простых делителя?

Например, 4 (2×2) или 6 (2×3)? Понятно, что такие числа есть «менее простыми», но они все-таки ближе к простым, чем, например, 8 или 30 (три простых делителя: 2x2x2 и 2x3x5). Итак, понятие" почти простого числа «- это способ определить, насколько число близко к тому, чтобы быть действительно простым.

Если число имеет два (не обязательно разных) простых делителя, то его можно назвать «полупростым» или «дважды почти простым». Это, например, числа 4, 6, 9, 10, 14, 15. Если же у него три таких делителя, его можно назвать «трижды почти простым» и т. д. То есть число, больше чем 1, может быть «n-почти простым» для некоторого n. С точки зрения приближения к «простоты» (термин, который я только что придумала), «почти простые» напоминают скорее игру в гольф, чем беременность: «дважды почти простое» ближе к простому, чем «трижды почти простое».

До сих пор может показаться, что это лишь нестандартный способ описания чисел с определенным количеством простых делителей. В чем же тогда смысл почти простых?

У математиков есть много непростых вопросов к простых чисел. С одной стороны, их распределение кажется случайным, но, с другой, некоторые аспекты их поведения очень прогнозируемые. Теорема о распределении простых чисел утверждает, что расстояние между ними увеличивается, чем дальше вы двигаетесь числовой прямой, но недавние исследования показали, что есть бесконечное количество пар простых чисел, которые отличаются лишь на 246 (от окончательного доказательства гипотезы простых чисел-«близнецов» ожидают, что имеется бесконечное количество простых чисел, которые отличаются на 2).

Поскольку за их непредсказуемую поведение сами простые числа изучать очень трудно, математикам иногда приходится ослаблять правила. Вместо того, чтобы задавать вопросы только в рамках множества простых, возможно, нужно немного приоткрыть дверь и впустить внутрь «почти простые числа?

Если, скажем, взять некоторую арифметическую прогрессию — произвольно длинную последовательность, например, таких чисел, как a+6, а+12, а+18 (или любой другой последовательностью чисел с одинаковыми промежутками), — то какие шансы, что в таких последовательностях будут выпадать простые числа?

В 2004 году Бен Грин и Теренс Тао доказали, что простые числа в произвольно длинных арифметических прогрессиях, причем они сделали это, именно ослабив правила и ища как простые, так и «почти простые».

Недавно «31-почти простые числа» появились в исследовании, связанном с поиском простых «близнецов» и других их пар.

Даже если понятие «почти простого числа не является математическим шуткой, оно все одно презабавное: «Почти простые числа в почти коротких интервалах». Но оказывается, что оно позволяет приоткрыть завесу тайны над одной из самых сложных проблем в теории чисел.